Bayesova veta alebo pravdepodobnosť príčin

Bayesova veta je jedným z pilierov počtu pravdepodobnosti . Je to teória, ktorú predložil Thomas Bayes (1702-1761) v 18. storočí. Aký je však účel výskumu tohto slávneho vedca? Pravdepodobnosť vyjadruje v náhodnom procese pomer medzi počtom priaznivých prípadov a počtom možných prípadov.

Bolo vyvinutých mnoho teórií pravdepodobnosti, ktoré riadia našu dnešnú existenciu. Keď ideme k lekárovi, predpíše liek, ktorý sa v našom prípade s najväčšou pravdepodobnosťou ukáže ako užitočný, rovnako ako inzerenti venujú svoje kampane ľuďom, ktorí si s najväčšou pravdepodobnosťou kúpia produkt, ktorý chcú propagovať, alebo turistom a cestovateľom, ktorí si vyberú cestu, kde bude pravdepodobne najmenší rad.

Zákon úplnej pravdepodobnosti patrí medzi najznámejšie, preto predtým, ako hovoríme o Bayesova veta vysvetleniu toho prvého budeme musieť venovať pár riadkov. Aby ste to pochopili, stačí uviesť príklad .

Aká je pravdepodobnosť (P), že je náhodne vybraná osoba z pracujúcej populácie v tejto krajine? nezamestnaný ?

Podľa teórie pravdepodobnosti by boli údaje vyjadrené takto:

• Pravdepodobnosť, že osoba je žena: P (M)
• Pravdepodobnosť, že osoba je muž: P (H)

S vedomím, že 39 % populácie tvoria ženy, odvodíme, že: P (M) = 039.

Je teda zrejmé, že: P (H) = 1 – 039 = 061. Problém nastolený na začiatku nám tiež dáva podmienené pravdepodobnosti:

• Pravdepodobnosť, že je osoba nezamestnaná s vedomím, že je žena -> P (P | M) = 022
• Pravdepodobnosť, že je osoba nezamestnaná s vedomím, že je muž – P (P | H) = 014

Pomocou zákon úplnej pravdepodobnosti budeme mať:

P (P) = P (M) P (P | M) P (H) P (P | H)

P (P) = 022 × 039 014 × 061

P(P) = 017

The . Pozorujeme, že výsledok je na polceste medzi dvoma podmienenými pravdepodobnosťami (022<017 <014). Inoltre è più prossimo al valore degli uomini perché nella popolazione di questo paese immaginario sono la maggioranza.

Poďme objaviť Bayesovu vetu

Teraz predpokladajme, že na vyplnenie formulára je náhodne vybraný dospelý a zistí sa, že nemá prácu. Aká je v tomto prípade a pri zohľadnení predchádzajúceho príkladu pravdepodobnosť, že táto náhodne vybraná osoba je žena -P (M | P) -?

Na vyriešenie tohto problému použijeme Bayesovu vetu ktorý sa používa na výpočet pravdepodobnosti udalosti tým, že má o nej informácie vopred . Môžeme vypočítať pravdepodobnosti udalosti A s vedomím, že spĺňa určité charakteristiky (B).

V tomto prípade hovoríme o pravdepodobnosti, že náhodne vybraná osoba na vyplnenie formulára je žena. Ale to

Vzorec Bayesovej vety

Ako každá iná veta potrebujeme vzorec.

Vyzerá to komplikovane, ale všetko má svoje vysvetlenie. Uvažujme po častiach. Čo znamená každé písmeno?

B je udalosťo ktorých máme predbežné informácie.
• L písmeno A (n) sa vzťahuje na rôzne podmienené udalosti.
• V čitateľskej časti máme podmienená pravdepodobnosť . To sa týka pravdepodobnosti, že niečo nastane (udalosť A) s vedomím, že nastane aj iná udalosť (B). Je definovaná ako P (A | B) a je vyjadrená ako: Pravdepodobnosť A danej B .
• V menovateli máme ekvivalent P (B) a nasleduje rovnaké vysvetlenie ako v predchádzajúcom bode.

Príklad

Vráťme sa k predchádzajúcemu príkladu Predpokladajme, že je náhodne vybraný dospelý, ktorý vyplní dotazník, a zistí sa, že áno nezamestnaný . Aké sú šance, že táto vyvolená osoba bude žena?

Vieme, že 39 % aktívnej populácie tvoria ženy, zatiaľ čo zvyšok tvoria ženy muži . Vieme tiež, že percento nezamestnaných žien je 22 % a mužov 14 %.

Nakoniec tiež vieme, že pravdepodobnosť, že náhodne vybraná osoba je nezamestnaná, je 017. Ak použijeme vzorec Bayesovej vety, výsledok, ktorý dostaneme je, že existuje pravdepodobnosť 05, že náhodne vybraná osoba spomedzi nezamestnaných

P (M | P) = (P (M) * P (P | M) / P (P)) = (022 * 039) / 017 = 05

Bayesova veta pochádza zo spojenia vety o zloženej a absolútnej pravdepodobnosti, ktorú sme vysvetlili na začiatku. Jeho hlavnou črtou je, že funguje vo všetkých interpretáciách pravdepodobnosti.

Pretože sa dá použiť na výpočet pravdepodobnosti príčiny, ktorá spustila udalosť jeho význam spočíva v spôsobe, akým historicky ovplyvnil štúdium štatistiky . Dnes sú v skutočnosti známe dve hlavné školy (jedna frekventistická a druhá bayesovská), ktoré sú vo vzájomnom kontraste, vychádzajúc z výkladu tejto teórie.

Zakončíme to zaujímavosťou: vedeli ste, že elektronický spam (napr internet e-mailové reklamy) funguje to vďaka Bayesovej vete?